n维欧几里得空间(n-dimensional Euclidean space)是现实空间的抽象与推广，简称n维欧氏空间。n维欧氏空间在代数中是定义了内积的n维线性空间，记为Rn，其元素是n维向量，即n元有序(实)数值，并利用内积规定向量x的模|x|是其与自身的内积的平方根|x|=√∑ni=1x2i。在几何中，借用普通空间中点坐标与其向径作为以原点为起点的向量的坐标相同之例，也把n维欧氏空间的向量看做点而把n维欧氏空间Rn看做点空间，因而也可讨论Rn中的几何图形，如直线、超平面等。在数学分析中，经常借用代数和几何中n维欧氏空间的概念，特别是常使用Rn的向量(元素)x的模|x|的另一名称范数的概念。在提到x∈Rn时常只说x是n元数组而不一定提到它是n维欧氏空间的元素，因而还常把x的模，即范数|x|特别称为x的欧几里得范数。

在解析几何和数学分析中，我们对一维欧几里得空间R1(即R，实直线)，二维欧几里得空间R2(即实平面)和三维欧几里得空间R3(即现实的三维立体空间)有了比较深入的了解。现在，我们讨论n维欧几里得空间。

定义1 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组的全体组成的集合，称为n维点集或n维欧几里得空间，记作Rn，即

为了深入研究行维点集Rn中邻域、有界集、点列收敛等概念，需要对Rn中的点之间定义距离。为了使问题讨论适用于更广泛的情形，我们对一般的集合给出距离的概念。

定义2 设X是一个非空集合，如果对于X中任何两个元素x和y，都有一个确定的实数，记为ρ(x，y)，与之对应，且满足下面三个条件，则称ρ是X上的一个距离，称ρ(x，y)是x和y之间的距离，而称X是以ρ为距离的距离空间(或度量空间)，记为(X，ρ)。这三个条件是：

(1)非负性，ρ(x，y)≥0，而且ρ(x，y)=0当且仅当x=y；

(2)对称性，ρ(x，y)=ρ(y，x)；

(3)三角不等式，ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(z，y)，这里z也是X中的任意一个元素。

对于Rn中的任意两点定义实函数，则ρ(x，y)满足距离的三个条件(1)，(2)，(3)，称ρ为Rn上的欧几里得距离，称(Rn，ρ)为n维欧几里得空间。

定义3设P0∈Rn是一固定点，δ>0为一实数，则集合{P|ρ(P，P0)<δ)称为以P0为中心的δ邻域，记作U(P0，δ)。

P0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是P0的某邻域，记作U(P0)，显然，在R，R2，R3中的邻域U(P0，δ)，就分别是以P0为中心以δ为半径的开区间、开圆和开球。

容易证明邻域具有如下基本性质：

(1)对于Q∈U(P)，存在U(Q)U(P)；

(2)对于P≠Q，存在U(P)和U(Q)，使U(P)∩U(Q)=∅。

定义4设{Pk)是Rn中一个点列，P0∈Rn，如果当k→∞时，有ρ(Pk，P0)→0，则称点列{Pk}收敛于P0，记为或。

用邻域的语言来说，就是：对P0的任意邻域U(P0)，存在K∈N+，使当k>K时，Pk∈U(P0)．

用“ε一N”语言来说，就是：对任意的ε>0，存在K∈N+，使当k>K时，ρ(Pk，P0)<ε．

定义5设A，B是两个非空点集，A与B的距离定义为