n-维向量空间（n-dimensional vector space），在解析几何中有些事物的性质不能用一个数来刻画，如一个n元方程组的解是由n个数组成，而这n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，这时我们就需要用n维向量来刻画方程组的解。在几何上这样的例子是很多的，所以n维向量在抽象代数这一领域的研究中起着很重要的作用。

所谓数域 上一个 维向量空间就是由数域 中 个数组成的有序数组

称为上述向量的分量。

几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 且 为实数域的情形。在 时， 维向量就没有直观的几何意义了。我们所以仍然称它为向量，一方面固然是由于它包括通常向量作为特殊情形，另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处。

下面我们用小写希腊字母 来代表向量。

如果 维向量

的对应分量都相等，即

就称这两个向量是相等的，记作 。

维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。

向量

称为向量

的和，记为

由定义立即推出：

交换律：

结合律：

分量全为零的向量

称为零向量，记为 ；向量 称为向量 的负向量，记为 。

显然，对于所有的 ，都有

利用负向量，可以定义向量的减法

设 为数域 中的数，向量

称为向量 与数 的数量乘积，记为 。

由定义立即推出：

上述四个公式是关于数量乘法的四条基本运算法则。

如果 ，那么

以数域 中的数作为分量的 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 上的 维向量空间。

在 时， 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间。

以上已把数域 上全体 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域 上 维向量空间。

向量通常是写成一行

有时候也可以写成一列：

为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。