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cholesky分解

数学术语

Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的。Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。

重要性质

1.若A对称正定，则亦对称正定，且＞0；

2.A的顺序主子阵亦对称正定；

3.A的特征值λi＞0；

4.A的全部顺序主子式det（）＞0。（A能够作Cholesky分解的充要条件）

证明方式

设A=＞0，则A的所有顺序主子式为正

＞0， i=1,2,...,n

矩阵A存在Doolittle分解：A=L1U

易证=，i=1,2,...,n

其中di（i=1,...,n）为U的主对角元素，且有

di＞0，i=1,2,...,n

记D=diag（d1,d2,...,dn）

A^T=A，(L1U)^T=L1U，U^T(L1)^T=L1U

(D^(-1)U)^TD(L1)^T=L1D(D^(-1)U)

(L1)^T(D^(-1)U)^(-1)=D^(-1)(U^(-1)D)^TL1D

D^(-1)U=(L1)^T，A=L1D(L1)^T，A=L1D^(1/2)D^(1/2)(L1)^T

A=(L1D^(1/2))(L1D^(1/2))^T

即

A=LL^T

分解定义

如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为Cholesky分解。在Matlab中，Cholesky分解由函数chol实现，该函数要求输入的矩阵是正定的。

参考资料

最新修订时间：2024-06-27 13:45

条目作者

概述

重要性质

证明方式

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